Un cycliste et un coureur partent du même point et se déplacent dans des directions opposées sur une piste circulaire de 2 km de rayon. Le cycliste roule à 20 km/h, et le coureur à 5 km/h. Combien de temps faudra-t-il avant qu'ils se retrouvent au point de départ ?

["Combien de temps avant qu’un cycliste et un coureur partis du même point se retrouvent au point de départ sur une piste circulaire ?", "Question classique d’angles et de vitesses sur une piste circulaire : comment la vitesse, la distance et le temps interagissent-ils pour un retour au point d’origine ?\nDans cet article, nous analysons un cas concret où un cycliste et un coureur partent du même point, se déplacent en sens opposés sur une piste circulaire de 2 km de rayon, à des vitesses distinctes, et nous calculons le moment où ils se recrue à leur point de départ commun.", "---", "### Le contexte : une piste circulaire", "La piste est circulaire avec un rayon de 2 km. La circonférence d’un cercle étant donnée par :\n[\nC = 2\pi r = 2\pi \ imes 2 = 4\pi \ ext{ km} \approx 12,566 \ ext{ km}\n]\nDonc, la longueur totale du parcours circulaire est 4π km.", "---", "### Les rythmes en jeu", "- Cycleur : vitesse 20 km/h\n- Coureur : vitesse 5 km/h\n- Les deux partent du même point, mais dans des directions opposées, ce qui signifie qu’ils se dirigent vers des portions complémentaires du cercle.", "---", "### Le principe clé : un retour au point de départ", "Puisque la piste est circulaire, un coureur ou un cycliste retrouve son point de départ après avoir parcouru un nombre entier de tours. La période du retour au point de départ est donnée par le temps nécessaire pour couvrir un cours entier du parcours, c’est-à-dire la circonférence complète.", "- Temps pour un tour complet (la période) :\n[\nT = \frac{\ ext{distance}}{\ ext{vitesse}} = \frac{4\pi \ ext{ km}}{v}\n]", "---", "### Calcul du temps jusqu’à leur retour commun au point de départ", "Les deux partent simultanément depuis le même point, mais en sens opposés. Le temps mis pour se retrouver au point de départ dépend de leur synchronisation avec les périodes individuelles.", "Soit ( t ) le temps en heures au bout duquel ils se retrouvent au point de départ.", "À cet instant, chaque individu a parcouru une distance multiple de la circonférence :\n- Cycliste : distance = ( 20t ) km\n- Coureur : distance = ( 5t ) km", "Mais pour être au point de départ, chaque déplacement doit correspondre à un multiple entier de la circonférence ( 4\pi ).\nAutrement dit :\n[\n20t = n \cdot 4\pi \quad \ ext{(pour le cycliste, entier } n)\n]\n[\n5t = m \cdot 4\pi \quad \ ext{(pour le coureur, entier } m)\n]", "On peut simplifier ces relations.", "À partir de la première équation :\n[\nt = \frac{4\pi n}{20} = \frac{\pi n}{5}\n]\nÀ partir de la seconde :\n[\nt = \frac{4\pi m}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{4\pi m}{5}\n]\nMais ces deux expressions doivent correspondre, donc :\n[\n\frac{\pi n}{5} = \frac{4\pi m}{5} \Rightarrow n = 4m\n]", "Cela signifie que ( n ) et ( m ) doivent être en rapport 4:1 pour que les deux soient au départ en même temps.", "Utilisons la première expression ( t = \frac{\pi n}{5} ), avec ( n ) un entier positif.", "Pour le temps minimum où ils se retrouvent au point de départ, nous cherchons le plus petit ( t > 0 ), donc avec ( n = 1 ) :\n[\nt = \frac{\pi \cdot 1}{5} = \frac{\pi}{5} \ ext{ heures}\n]", "Convertissons en minutes pour plus de clarté (facultatif) :\n[\n\frac{\pi}{5} \ imes 60 \approx 37,7 \ ext{ minutes}\n]", "Vérifions que le coureur est bien au départ à ce moment :\nDistance parcourue : ( 5 \ imes \frac{\pi}{5} = \pi ) km.\nEst-ce un multiple de ( 4\pi ) ? Non.\nOh ! Il y a une erreur ici. Le point de départ correspond à des multiples exacts de la circonférence ( 4\pi ), mais ( \pi ) km n’en est pas un.", "⚠️ Correction fondamentale :\nUn individu revient au point de départ uniquement lorsque la distance parcourue est un multiple entier de la circonférence totale, soit ( 4\pi ), ( 8\pi ), ( 12\pi ), etc.", "Donc, pour le coureur :\n[\n5t = 4\pi k \quad \Rightarrow \quad t = \frac{4\pi k}{5}\n]\nPour le cycliste :\n[\n20t = 4\pi m \quad \Rightarrow \quad t = \frac{4\pi m}{20} = \frac{\pi m}{5}\n]", "Pour que ces deux temps soient égaux :\n[\n\frac{\pi m}{5} = \frac{4\pi k}{5} \Rightarrow m = 4k\n]", "Solutions entières positives : ( k = 1, m = 4 ), puis ( k = 2, m = 8 ), etc.", "Le temps minimum correspond à ( k = 1 ), donc :\n[\nt = \frac{\pi \cdot 1}{5} = \frac{\pi}{5} \ ext{ heures}\n]", "À ( t = \frac{\pi}{5} ) heures :\n- Cycliste a parcouru ( 20 \ imes \frac{\pi}{5} = 4\pi ) km → un tour complet → au départ.\n- Coureur a parcouru ( 5 \ imes \frac{\pi}{5} = \pi ) km → ce n’est pas un multiple entier de ( 4\pi ).\nDonc il n’est pas au départ.", "💡 Erreur corrigée : le retour à l’origine ensemble n’arrive quand les deux ont fait un nombre entier de tours — c’est-à-dire un multiple commun de la circonférence.", "Puisque leurs vitesses sont proportionnelles, le temps pour se retrouver au point de départ correspond au plus petit commun multiple (PPCM) des périodes individuelles — mais seul le premier instant d’alignement.", "La durée d’un tour du cycliste :\n[\nT_c = \frac{4\pi}{20} = \frac{\pi}{5} \ ext{ h}\n]\nLa durée du tour du coureur :\n[\nT_r = \frac{4\pi}{5} \ ext{ h}\n]", "Ils se retrouvent au point de départ quand leurs déplacements sont synchronisés avec un tour complet mutuel.\nMais ils se déplacent en sens opposés, donc leur vitesse angulaire relative est ( 20 + 5 = 25 ) km/h — mais pour revenir au point de départ commun, il faut que chaque ait fait un nombre entier de tours — pas nécessairement simultanément ? Non — ils partent ensemble, donc la première fois qu’ils sont et deux au point de départ est à leur PPCM de périodes, mais uniquement si leurs cycles sont en phase.", "Mais ici, ils sont à distance But ils convergeront au point de départ si leur déplacement combiné couvre un multiple commun de la piste.", "Actuellement, l’essentiel est :\nIls se retrouveront au point de départ à un temps ( t ) tel que :\n- ( 20t = 4\pi a )\n- ( 5t = 4\pi b )\npour entiers ( a, b )", "Multipliant la seconde par 4 : ( 20t = 20\pi b ), donc :\n[\n4\pi a = 20\pi b \Rightarrow 4a = 20b \Rightarrow a = 5b\n]", "Donc le plus petit entier ( b = 1 ), donc ( a = 5 )", "Alors :\n[\nt = \frac{4\pi a}{20} = \frac{4\pi \ imes 5}{20} = \pi \ ext{ heures}\n]\nOu, via le coureur :\n[\nt = \frac{4\pi \ imes 1}{5} = \frac{4\pi}{5} \ ext{ heures}\n]\nConflit au vu des deux !", "Attendez :\n- Cycliste : $ 20t = 4\pi a \Rightarrow t = \frac{4\pi a}{20} = \frac{\pi a}{5} $\n- Coureur : $ 5t = 4\pi b \Rightarrow t = \frac{4\pi b}{5} $", "Égalité :\n[\n\frac{\pi a}{5} = \frac{4\pi b}{5} \Rightarrow a = 4b\n]", "Correct : le temps est ( t = \frac{4\pi b}{5} ), avec ( b = 1 \Rightarrow t = \frac{4\pi}{5} ) heures", "À ce moment :\n- Cycliste : ( 20 \ imes \frac{4\pi}{5} = 16\pi ) km = 4 tours → au départ\n- Coureur : ( 5 \ imes \frac{4\pi}{5} = 4\pi ) km → un tour → au départ", "Donc à ( t = \frac{4\pi}{5} ) heures (environ 2 heures 48 minutes), les deux sont exactement au point de départ.", "---", "### Conclusion : le temps jusqu’à leur rencontre au point de départ", "Ils se retrouvent au point de départ à un instant ( t ) tel que :\n[\nt = \frac{4\pi b}{5}, \quad b \in \mathbb{N}^+\n]\nLe plus petit temps est pour ( b = 1 ) :\n[\nt = \frac{4\pi}{5} \ ext{ heures} \approx 2,513 \ ext{ heures} \approx 2 \ ext{ h } 31 \ ext{ min}\n]", "---", "### Résumé", "- Circonférence : ( 4\pi ) km\n- Cycliste vitesse : 20 km/h → période : ( \frac{4\pi}{20} = \frac{\pi}{5} ) h\n- Coureur vitesse : 5 km/h → période : ( \frac{4\pi}{5} ) h\n- Ils se retrouvent au point de départ ensemble quand leurs displacements sont multiples communs de ( 4\pi ), ce qui peut être synchronisé à ( t = \frac{4\pi}{5} ) h, car :\n - Cycliste a fait 4 tours\n - Coureur a fait 1 tour", "---", "### En résumé :", "[\n\boxed{t = \frac{4\pi}{5} \ ext{ heures} \approx 2,513 \ ext{ h}}\n]", "---", "### Pourquoi ça marche ?", "Parce que ( \frac{4\pi}{5} ) est un multiple entier des périodes :\n- Cycliste : ( \frac{4\pi}{5} \div \frac{\pi}{5} = 4 ) tours (entier)\n- Coureur : ( \frac{4\pi}{5} \div \frac{4\pi}{5} = 1 ) tour (entier)", "Ils sont donc stationnés simultanément au point de départ.", "---", "### Bonus : Convertir en minutes et km (facultatif)", "- Temps : ( \frac{4\pi}{5} \ imes 60 \approx 150,8 ) min ≈ 2 heures 31 minutes\n- Distance parcourue par le cycliste : ( 20 \ imes \frac{4\pi}{5} = 16\pi \approx 50,27 ) km\n- Distance parcourue par le coureur : ( 5 \ imes \frac{4\pi}{5} = 4\pi \approx 12,57 ) km", "---", "Mots-clés SEO :\ncycliste et coureur piste circulaire, vitesse opposées, temps retour point départ, calcul distance et temps pédale, 2 km circonférence, PPCM vitesses cycliste coureur, temps minimum domination course circulaire", "---", "Source : maths appliquées, cinématique sur trajectoire circulaire, problèmes de synchronisation."]